区间套定理的内容是什么？

1. 区间套定理的内容是什么？

先定义什么是区间套：
设闭区间列{ [an, bn] } 具有如下性质：
① [an, bn]包含[an+1,bn+1 ], n=1,2,...; (其中的意思是[an+1,bn+1 ]是[an, bn]的子集)
② lim (bn-an)=0 (n→∞)，
则称{ [an, bn] } 为闭区间套，或简称区间套。

下面是区间套定理：
若{ [an, bn] } 是一个区间套，则在实数R中存在唯一的点ξ，使得ξ∈[an, bn]，n=1,2,..., 即 an≤ξ≤bn, n=1,2,... 

注：这个定理实际上表明了实数的完备性，实数是连续地充满整个数直线而没有间隙，而有理数就不具备这个性质。

2. 什么是区间套定理？怎么证明？

第七章   实数的完备性
设{{an,bn}}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an,bn]，n = 1,2...,即
                                        an≤ξ≤bn，n = 1,2,....
(具体证明由于有些符号打不出来,从略)
可以在网上查找相关的资料,或者去借一本《数据结构》的书，自己翻阅着看下

3. 什么是区间套定理？怎么证明？

什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）

4. 闭区间套定理如何理解?

闭区间套定理的理解：闭区间套定理，是实数连续性的一种描述，几何意义是，有一列闭线段(两个端点也属于此线段)，后者被包含在前者之中，并且由这些闭线段的长构成的数列以О为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点。
该定理反应了实数的完备性，是关于实数连续性的6个等价命题之一，因此可以由其他5个定理推导出来。但既然是关于实数连续性的定理，自然可以用实数的定义以及实数公理——戴德金定理来证明。

定律影响：

闭区间套定理由于具有较好的构造性，因此在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。
例如用来证明单调有界定理，闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性、一致连续性等），拉格朗日中值定理等微分学上常用的定理。作为介绍，在这里给出用闭区间套定理证明单调有界定理和拉格朗日中值定理的过程。
以上内容参考 百度百科—闭区间套定理

5. 闭区间套定理

区间套定理：设一无穷闭区间列{[a(n)，b(n)]}适合下面两个条件：（1）后一区间在前一区间之内，既对任一正整数n，有a(n)无穷时，区间列的长度{(b(n)-a(n))}所成的数列收敛于零，则区间的端点所成的两数列{a(n)}及{b(n)}收敛于同一极限$，并且$是所有区间的唯一公共点。

闭区间套定理通常是和“二分法”配合使用的，即区间[a，b]从中点一分为二，通常得到的这两个区间中有且仅有一个区间具有某种性质（和我们要证明的具体问题有关），把这个符合要求的区间[a1，b1]再分为两半，再找出我们感兴趣（具有某种性质）的那个小区间[a2，b2]。
依次类推，这样每分一次，我们找到的区间长度就变为原来的一半，第n次得到的区间长度就是(b-a)/2^n，这样当n趋于∞时，区间长度趋于0，这样我们得到了一个闭区间套[ai，bi]，并且有lim(bn-an)=0，满足闭区间套定理的条件。

因此存在唯一的实数ξ=liman=limbn，这样我们就把每次找到的小区间[ai，bi]具有的性质“传递”到了实数ξ上，而这一步正是用闭区间套定理证明问题的关键。

6. 哪位朋友知道区间套定理是什么？谢谢！

你是否要的这个？
区间套定理
ZT
下面给出一个有关区间套的定理。
记得我们曾经用有理区间套来定义实数，那种方式直观但不尽完美。现在很高兴可以在我们新的实数理论中，证明与区间套有关的结论。我们将看到，这个区间套定理只是确界定理的一个应用而已。
[定理]
区间套定理
设{[An,
Bn]
|
n=1,2,…}是一串闭区间，且满足条件[An,
Bn]Ê[An+1,
Bn+1]
(n=1,2,…)，则
∩[An,
Bn]
¹Æ
(n=1,2,…)
证明：由假设对每个自然数n，都有[An,
Bn]Ê[An+1,
Bn+1]，所以当自然数n£m时，有[An,
Bn]
Ê[Am,
Bm]，即有An
£
Am
£
Bm
£
Bn。由此就有An£Bm和Am£Bn。因此，不等式An£Bm对于任意的自然数都成立。于是集合A={A1,A2,…,An,…}是有上界的，因为每个Bm都是它的上界。根据上确界定理，集合A有上确界X0。因此对每个自然数n，由AnÎA，有An£X0。又因为对于每个自然数n，Bn都是A的上界，因此X0£Bn。所以对于每个自然数n，都有An£X0£Bn，即X0Î[An,
Bn]，故X0Î∩[An,
Bn]，从而有
∩[An,
Bn]¹Æ。证毕。
顺便指出，上述定理并不要求对于每个闭区间[An,
Bn]，有Bn>An。只要求Bn³An就可以了（当然，如果存在自然数k，使得Bk=Ak
(=X0)，那么此后所有的区间都只包含一个实数，且∩[An,
Bn]={X0}）。另外，若上面的区间套数量是有限的，显然定理也是成立的。
这个区间套定理也让我们产生这样一个问题：在什么情况下，∩[An,
Bn]只包含一个实数？根据以前的经验，我们可能这样猜想：若区间[An,
Bn]的“长度”趋向于零，那么∩[An,
Bn]将包含唯一的实数。但是，我们这个实数理论中，目前还尚无“距离”的概念。因此我们要另外考虑。在上面定理的证明过程中我们看到，A有上确界X0。与此类似，设B={B1,B2,…,Bn,…}，那么B有下确界Y0。我们可能已经想到了，∩[An,
Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。下面给出证明。
[命题]
设{[An,
Bn]
|
n=1,2,…}是闭区间套，[An,
Bn]Ê[An+1,
Bn+1]
(n=1,2,…)。
另设A={A1,A2,…,An,…}，有上确界X0；B={B1,B2,…,Bn,…}，有下确界Y0。那么∩[An,
Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。
证明：先证必要性。设∩[An,
Bn]包含唯一的实数，那么根据区间套定理的证明，A={A1,A2,…,An,…}的上确界X0Î∩[An,
Bn]。同理可证Y0Î∩[An,
Bn]。但已知∩[An,
Bn]只包含一个实数，因此X0=Y0。
再证充分性。因为”XÎ∩[An,
Bn]，有An
£X£
Bn，对于任意的自然数n都成立。因此X是A={A1,A2,…,An,…}的上界。由于X0是A的上确界，所以X0£X。类似地，因为X是B={B1,B2,…,Bn,…}的下界，所以X£
Y0。这样就有X0£X£Y0。但已知X0=Y0，所以满足条件的X只有一个（X=X0=Y0），即∩[An,
Bn]只包含一个实数。证毕。

7. 如何证明闭区间套定理

设数列{xn}，其中xn∈[an,bn]
0<=bn-xn<=bn-an
因为lim0=0
且lim(bn-an)=lim(b-a)/2^n=0
所以根据数列极限的夹逼性，lim(bn-xn)=0
即limxn=limbn
同理，0<=xn-an<=bn-an
因为lim0=lim(bn-an)=0
所以lim(xn-an)=0
即limxn=liman
因为an<=xn<=bn，且{an}是递增数列，{bn}是递减数列
所以an<=liman=limxn=limbn<=bn
所以存在X=limxn∈[an,bn]，使对于任意的n，有X=liman=limbn

8. 为什么开区间不适用闭区间套定理?

是因为极限和闭区间的性质。当n趋向∞时，区间两端收敛于同一极限，显然这个极限在最初的区间[a,b]之间，并且由于闭区间性质，区间内的所有值都能取到，这个极限就是区间的公共点。
但是换成开区间就不一样了，区间端点是取不到的，可根据极限的性质（描述一种趋势），(a,b)间的点列完全可以以端点作为极限，所以当证明区间端点收敛于同一极限时，你就不能得出这个极限一定在区间内，更不能说它是所有区间的公共点。

定义
直线上介于固定的两点间的所有点的集合（不包含给定的两点），用(a,b)来表示（不包含两个端点a和b）。
开区间的实质仍然是数集，该数集用符号（a，b）表示，含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数，但不包含a和b。相当于{x|a<x<b}，记作（a,b） 取值不包括a、b。