闭区间套定理的一个问题

1. 闭区间套定理的一个问题

不矛盾。
区间套里每个区间都是确定的，比如[ai,bi](脚标i为一个正整数）,它包含了无穷多个点，且这些点都在[a,b]内。
‘只有唯一一个点属于[an,bn],n=1,2,3,... ’可这样考虑：设这点为c，在[a,b]任选一点d≠c，则总能找到足够大的n，使得区间[an,bn]的半径小于│d-c│/2,所以点d就不在[an,bn]内。即只有唯一一个点c属于[an,bn],n=1,2,3,...

2. 闭区间套定理的介绍

闭区间套定理:如果{[an ,bn ]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an ,bn ]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。且lim an=lim bn=ξ。

3. 闭区间套定理

区间套定理：设一无穷闭区间列{[a(n)，b(n)]}适合下面两个条件：（1）后一区间在前一区间之内，既对任一正整数n，有a(n)无穷时，区间列的长度{(b(n)-a(n))}所成的数列收敛于零，则区间的端点所成的两数列{a(n)}及{b(n)}收敛于同一极限$，并且$是所有区间的唯一公共点。

闭区间套定理通常是和“二分法”配合使用的，即区间[a，b]从中点一分为二，通常得到的这两个区间中有且仅有一个区间具有某种性质（和我们要证明的具体问题有关），把这个符合要求的区间[a1，b1]再分为两半，再找出我们感兴趣（具有某种性质）的那个小区间[a2，b2]。
依次类推，这样每分一次，我们找到的区间长度就变为原来的一半，第n次得到的区间长度就是(b-a)/2^n，这样当n趋于∞时，区间长度趋于0，这样我们得到了一个闭区间套[ai，bi]，并且有lim(bn-an)=0，满足闭区间套定理的条件。

因此存在唯一的实数ξ=liman=limbn，这样我们就把每次找到的小区间[ai，bi]具有的性质“传递”到了实数ξ上，而这一步正是用闭区间套定理证明问题的关键。

4. 如何证明闭区间套定理

设数列{xn}，其中xn∈[an,bn]
0<=bn-xn<=bn-an
因为lim0=0
且lim(bn-an)=lim(b-a)/2^n=0
所以根据数列极限的夹逼性，lim(bn-xn)=0
即limxn=limbn
同理，0<=xn-an<=bn-an
因为lim0=lim(bn-an)=0
所以lim(xn-an)=0
即limxn=liman
因为an<=xn<=bn，且{an}是递增数列，{bn}是递减数列
所以an<=liman=limxn=limbn<=bn
所以存在X=limxn∈[an,bn]，使对于任意的n，有X=liman=limbn

5. 用闭区间套定理证明下面的定理

令g(x)=f(x)-x，由题意知g(x)连续
g(a)=f(a)-a0
∴g(a)g(b)<0
∴根据零点定理可以知道存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即 f(ξ)-ξ =0，得证。

零点定理：
设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ

6. 证明闭区间套定理

7. 为什么开区间不适用闭区间套定理?

是因为极限和闭区间的性质。当n趋向∞时，区间两端收敛于同一极限，显然这个极限在最初的区间[a,b]之间，并且由于闭区间性质，区间内的所有值都能取到，这个极限就是区间的公共点。
但是换成开区间就不一样了，区间端点是取不到的，可根据极限的性质（描述一种趋势），(a,b)间的点列完全可以以端点作为极限，所以当证明区间端点收敛于同一极限时，你就不能得出这个极限一定在区间内，更不能说它是所有区间的公共点。

定义
直线上介于固定的两点间的所有点的集合（不包含给定的两点），用(a,b)来表示（不包含两个端点a和b）。
开区间的实质仍然是数集，该数集用符号（a，b）表示，含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数，但不包含a和b。相当于{x|a<x<b}，记作（a,b） 取值不包括a、b。

8. 什么是区间套定理？

什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）