数学分析区间套定理

1. 数学分析区间套定理

设ξ∈[an,bn](n=1,2,……)是区间套{[an,bn]}确定的点
  liman=ξ
  limbn=ξ n趋于无穷
  下面就是两个定义,一代就好了
  那个O因该是U,邻域.

2. 数学分析基础 区间套定理

设ξ∈[an,bn](n=1,2,……)是区间套{[an,bn]}确定的点
liman=ξ
limbn=ξ   n趋于无穷
下面就是两个定义，一代就好了
 
那个O因该是U，邻域。

3. 什么是区间套定理？

什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）

4. 区间套定理的内容是什么？

先定义什么是区间套：
设闭区间列{ [an, bn] } 具有如下性质：
① [an, bn]包含[an+1,bn+1 ], n=1,2,...; (其中的意思是[an+1,bn+1 ]是[an, bn]的子集)
② lim (bn-an)=0 (n→∞)，
则称{ [an, bn] } 为闭区间套，或简称区间套。

下面是区间套定理：
若{ [an, bn] } 是一个区间套，则在实数R中存在唯一的点ξ，使得ξ∈[an, bn]，n=1,2,..., 即 an≤ξ≤bn, n=1,2,... 

注：这个定理实际上表明了实数的完备性，实数是连续地充满整个数直线而没有间隙，而有理数就不具备这个性质。

5. 什么是区间套定理？怎么证明？

第七章   实数的完备性
设{{an,bn}}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an,bn]，n = 1,2...,即
                                        an≤ξ≤bn，n = 1,2,....
(具体证明由于有些符号打不出来,从略)
可以在网上查找相关的资料,或者去借一本《数据结构》的书，自己翻阅着看下

6. 什么是区间套定理？怎么证明？

什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）

7. 用区间套定理证明确界原理里的一个步骤？

区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以.就说一下有上界数集如何证有上确界,下界类似.
分两步,第一步套出一个数,第二步证明这个数就是上确界.
①对于数集X,如果它有上界M,就构造闭区间列U[n],U[1]=[a[1],M],a[1]是任意一个数,只要使得U[1]∩X≠∅就可以.U[2]这样构造,如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数,就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2].U[3]构造类似,就是再把U[2]一分为二,右半边如果有X中的数就等于右半区间,否则等于左半区间.就这样一直构造下去,所有的U[n]都是递减区间列,根据闭区间套定理,它们必有一个公共元素m.
②要证m就是X的上确界.下面分类讨论.
1)先说如果m就是集合X中的元素,那么假设X中还有比m大的m',上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的,和m是公共元素矛盾了.这个比较好证明,就不写具体过程了.这样m在X中,而且X中还没有比m更大的数,显然m是X中的最大数,自然是上确界（根据上确界定义可知）.
2)m不在X中.先证明m任意小邻域里面有X中的数.还是反证法,假设可以找到一个δ>0,使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数,那由于区间U[n]长度可以任意小,只要n足够大.所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ,但所有U都包含m,于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中,但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素,意思是U[j]里面就没有X中元素,和一开始约定的U[n]构造规则矛盾,所以m任意邻域都有X中数.再证X中的数不可能比m大.还是反证法,和1)完全类似,就不写了.
根据上确界的定义,m是X的上确界,就找到了.

8. 用区间套证明确界定理

证明：首先用确界定理找到一个数a，其次证明这个数a就是数列{an}的极限。
如：已知数列{an
n∈Z+}有界，根据确界定理，它存在上确界。设Sup{an
n∈Z+}=a。
由上确界的定义，任意取ε
>0,存在n∈□
则有a
-
ε<an<a.已知数列{an}单调增加,对于任意
n>N
则有a
-
ε<aN<=an<=a
或
(an-a)的绝对值<
ε,
即单调增加有界数列{an}存在极限.